ENERGÍA POTENCIAL MÍNIMA

En este apartado, se estudia el principio de Arquímedes como un ejemplo, de cómo la Naturaleza busca minimizar la energía.

   

Supongamos un cuerpo en forma de paralepípedo de altura h, sección A y de densidad ρs. El fluido está contenido en un recipiente de sección S  hasta una altura b. La densidad del fluido es ρf> ρs.

Se libera el cuerpo, oscila hacia arriba y hacia abajo, hasta que alcanza el equilibrio flotando sobre el líquido sumergido una longitud x.  El líquido del recipiente asciende hasta una altura d. Como la cantidad de líquido no ha variado S·b=S·d-A·x

Hay que calcular x, de modo que la energía potencial del sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mínima.

Tomamos el fondo del recipiente como nivel de referencia de la energía potencial.

El centro de masa del cuerpo se encuentra a una altura d-x+h/2. Su energía potencial es Es=(ρs·A·h)g(d-x+h/2)

 

Para calcular el centro de masas del fluido, consideramos el fluido como una figura sólida de sección S y altura d a la que le falta una porción de sección A y altura x.

 

  • El centro de masas de la figura completa, de volumen S·d es d/2
  • El centro de masas del hueco, de volumen A·x, está a una altura (d-x/2)

 

La energía potencial del fluido es Ef=ρf(Sb)g·yf

La energía potencial total es Ep=Es+Ef

 

El valor de la constante aditiva cte, depende de la elección del nivel de referencia de la energía potencial.

En la figura, se representa la energía potencial Ep(x) para un cuerpo de altura h=1.0, densidadρs=0.4, parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρf=1.0.

 

La función presenta un mínimo, que se calcula derivando la energía potencial con respecto de x e igualando a cero

 

En la posición de equilibrio, el cuerpo se encuentra sumergido

 

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